Problemas de Cálculo
Simulación 1 de 7
1. Posición y Velocidad
La derivada de la Posición `s(t)` (dónde estás) es la Velocidad `v(t)` (qué tan rápido vas).
La posición de un objeto es `s(t) = 4t²`. ¿Cuál es la fórmula de su velocidad `v(t)`? (Pista: Usa la Regla de la Potencia).
2. Velocidad y Aceleración
¡Sigamos! La derivada de la Velocidad `v(t)` es la Aceleración `a(t)` (cómo cambia tu velocidad).
Del paso anterior, sabemos que `v(t) = 8t`. ¿Cuál es la fórmula de su aceleración `a(t)`? (Vuelve a derivar).
3. Tasas Relacionadas (La Escalera)
Este es un problema clásico. Una escalera se desliza por una pared. Si `x` (distancia al suelo) AUMENTA, ¿qué pasa con `y` (altura en la pared)?
Si la base (`x`) se aleja de la pared (tasa positiva), ¿qué pasa con la altura (`y`)?
4. La Caja de Cartón (Optimización)
Queremos hacer una caja sin tapa cortando cuadrados de las esquinas de un cartón de 10x10 cm. El volumen es `V(x) = x(10-2x)²`.
Para encontrar el volumen MÁXIMO, derivamos e igualamos a cero: `V'(x) = 12x² - 80x + 100 = 0`.
Las soluciones a `V'(x)=0` son `x = 5` (sin volumen) y `x = 1.67`. ¿Cuál de las dos nos da el volumen máximo?
5. Distancia Recorrida (Área)
La integral de la Velocidad `v(t)` es la Distancia `s(t)`. Si `v(t) = 2t`, ¿cuál es la distancia (el área bajo la curva) recorrida desde t=0 hasta t=3?
Distancia = (1/2) * 3 * 6
Distancia = m
6. El Vaso (Volumen de Revolución)
¡Una aplicación 3D! Si tomas una función (como `y = x`) y la "giras" alrededor del eje x, la integral puede calcular el volumen del sólido que se forma.
Si giras una línea recta (`y=x`) alrededor del eje x, ¿qué figura 3D obtienes?
7. Temperatura Promedio (Valor Promedio)
La integral nos ayuda a encontrar el "valor promedio" de una función. La temperatura en un día es `T(t) = -t² + 24t`.
El valor promedio de `f(x)` en un intervalo `[a, b]` es:
(1 / (b-a)) * [Integral de f(x) de 'a' a 'b']
¿Qué representa conceptualmente la integral en esta fórmula?